Степан Мамчич родился в селе Новопокровка, в северо-восточной части Крыма. Во второй половине 1920-х годов семья переезжает в Феодосию, где Степан начинает посещать занятия в художественной студии при галерее им. Айвазовского. С 1945 года Степан Мамчич работает в артели «Крымский художник», выполняя заказы по копированию работ И. К. Айвазовского. В 1949 году поступает на 4 курс художественного училища им. Самокиша, которое оканчивает в 1951 году. В том же году уезжает работать учителем на Северный Кавказ, в поселок Гизель. В 1952 году возвращается в Феодосию, где преподаёт в открытой Н. С. Барсамовым художественной школе. В 1954 году переезжает в Симферополь, где продолжает сотрудничество с артелью «Крымский художник» и, позже, Художественным фондом Союза художников. В 1962 году по рекомендации Т. Н. Яблонской принят в Союз художников СССР. Работы Степана Мамчича хранятся в собраниях Алупкинского дворцово-паркового музея-заповедника, Днепропетровского художественного музея, Донецкого художественного музея, Луганского художественного музея, Мариупольского краеведческого музея, Музея Александра Грина, Национальной картинной галереи имени И. К. Айвазовского, Национального художественного музея Украины, Севастопольского художественного музея, Симферопольского художественного музея.